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<!DOCTYPE html>

<title>Wilson-Loop</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Wilson-Loop</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Der <b>Wilson-Loop</b> (oder <b>Wilson Line</b>) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{C}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{C}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87a8f64b13358ebd7d0cc1e1536f47573a7b3e92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.675ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle W_{C}}" loading="lazy"></span>, benannt nach <a href="Kenneth_Wilson" title="Kenneth Wilson">Kenneth Wilson</a>, einem Pionier der <a href="Gittereichtheorie" title="Gittereichtheorie">Gittereichtheorien</a>, ist ein <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> eines <a href="Operator_(Mathematik)" title="Operator (Mathematik)">Operators</a> in <a href="Eichtheorie" title="Eichtheorie">Eichtheorien</a>, der zur Unterscheidung der unterschiedlichen Phasen der Theorie dient.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Der Wilson-Loop wird als eichinvarianter Erwartungswert eines <a href="Zustand_(Quantenmechanik)" title="Zustand (Quantenmechanik)">Phasenfaktors</a> definiert, bei der die Feldvariablen der Eichtheorie, die (<a href="Vierervektor" title="Vierervektor">Vierer</a>-)<a href="Vektorpotential" title="Vektorpotential">Vektorpotentiale</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\mu }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9277f5286335ab99c040c9c9151ab752d3bedc49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.967ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{\mu }}" loading="lazy"></span> mit Werten in der <a href="Lie-Algebra" title="Lie-Algebra">Lie-Algebra</a> der zugrundeliegenden <a href="Lie-Gruppe" title="Lie-Gruppe">Lie-Gruppe</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"></span> der Eichtheorie, längs eines geschlossenen Weges (englisch <i>Loop</i>) miteinander multipliziert werden:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{C}=\mathrm {Tr} \,\left\{{\mathcal {P}}\exp i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }\right\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e212568cc641f57ecef07a398cdbe110900898cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.74ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle W_{C}=\mathrm {Tr} \,\left\{{\mathcal {P}}\exp i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }\right\}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Dabei bezeichnet

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></span> den geschlossenen Weg</li>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.704ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}}" loading="lazy"></span>, dass das Produkt der Operatoren längs des Weges geordnet ist.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Tr}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c43e73d2217c4a8191b6d19df6a5d9e54463b63f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.685ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Tr}" loading="lazy"></span> (englisch <i>Trace</i>) die <a href="Spur_(Mathematik)" title="Spur (Mathematik)">Spur</a> bezüglich der <a href="Eichgruppe" title="Eichgruppe">Eichgruppe</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"></span>. Wegen der zyklischen Invarianz dieser Spur ist der Operator eichinvariant.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung">Anwendung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gittereichtheorien">Gittereichtheorien</h3></div>

<p>Ein Hauptanwendungsgebiet der Wilson-Loops sind Gittereichtheorien, wo aus ihnen <a href="Ordnungsparameter" title="Ordnungsparameter">Ordnungsparameter</a> für verschiedene Phasenzustände gewonnen werden.

</p><p>In der <a href="Quantenchromodynamik" title="Quantenchromodynamik">Quantenchromodynamik</a> beispielsweise (betrachtet als <a href="Quantenfeldtheorie" title="Quantenfeldtheorie">Quantenfeldtheorie</a> auf einem Gitter bei endlicher Temperatur) werden mit den Wilson Loops unterschieden:

</p>

<ul><li><a href="Confinement" title="Confinement">Confinement</a>-Phasen, wenn sich der Ausdruck im Exponenten in der räumlichen Dimension <i>flächenhaft</i> verhält (proportional zur umschlossenen Fläche; <i>area law</i>). Dies kann man sich als Folge der additiven Beiträge vieler farbelektrischer confinement-Flusstuben vorstellen. Das zugehörige Potential nimmt linear mit dem Abstand zu, ähnlich dem <a href="Gummielastizit%C3%A4t" title="Gummielastizität">elastischen Verhalten eines Gummibandes</a>.</li>

<li><a href="Deconfinement" title="Deconfinement">Deconfinement</a>-Phasen, wenn sich der Ausdruck im Exponenten in der räumlichen Dimension <i>linear</i> verhält (proportional zum <i>Umfang</i> der Schleife <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></span>; <i>circumferential law</i>). Hier gibt es <i>keine</i> Fluss-Beiträge durch die Schleife bzw. sie heben sich im Mittel auf. Das zugehörige Potential verhält sich <i>umgekehrt</i> proportional zum Abstand, wie in der Elektrodynamik (<a href="Coulombsches_Gesetz#Coulomb-Potential" title="Coulombsches Gesetz">Coulombphase</a>).</li></ul>

<p>Die Wilson-Loops werden dabei über geschlossene Kurven in der <a href="Raum-Zeit" class="mw-redirect" title="Raum-Zeit">Raum-Zeit</a> gebildet, wobei die Zeit <a href="Imagin%C3%A4re_Zahl" title="Imaginäre Zahl">imaginär</a> angenommen wird, so dass sich ein euklidischer Formalismus ähnlich wie bei der <a href="Statistische_Mechanik" title="Statistische Mechanik">statistischen Mechanik</a> ergibt, nur in <a href="4D" title="4D">vier Dimensionen</a>. Dabei ist die entsprechende Temperatur umgekehrt proportional zur Zeit, und es werden periodische <a href="Randbedingung" title="Randbedingung">Randbedingungen</a> angenommen. Die geschlossenen Kurven werden üblicherweise über eine Zeit- und eine Raumrichtung geführt; dann entsprechen die Wilson-Loops im <a href="Kontinuum_(Physik)" title="Kontinuum (Physik)">Kontinuum</a>-Limes des Gitters der Berechnung des <a href="Quark_(Physik)" title="Quark (Physik)">Quark</a>-Antiquark-Potentials. Es werden aber auch rein räumliche Schleifen betrachtet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Elektrodynamik">Elektrodynamik</h3></div>

<p>In der <a href="Elektrodynamik" title="Elektrodynamik">Elektrodynamik</a> ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9de6ab2b69abb72a32ea34e7aea222d5cea60cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.896ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }}" loading="lazy"></span> identisch mit dem <a href="Magnetischer_Fluss" title="Magnetischer Fluss">magnetischen Fluss</a> durch die Schleife <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></span>, falls diese räumlich ist, wie sich durch Anwendung des <a href="Satz_von_Stokes" title="Satz von Stokes">Satzes von Stokes</a> ergibt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stringtheorie_und_Quantengravitation">Stringtheorie und Quantengravitation</h3></div>

<p>Wilson-Loops werden auch in der <a href="Stringtheorie" title="Stringtheorie">Stringtheorie</a> betrachtet. Hier ergibt sich die Möglichkeit nicht kontraktibler (zusammenziehbarer) Loops in den kompaktifizierten Extra-Dimensionen, je nach deren <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</a>.

</p><p>In der <a href="Loop-Quantengravitation" class="mw-redirect" title="Loop-Quantengravitation">Loop-Quantengravitation</a> von <a href="Ashtekar" class="mw-redirect" title="Ashtekar">Ashtekar</a> spielen Wilson-Loops eine große Rolle als fundamentale Basiszustände einer <a href="Quantengravitation" title="Quantengravitation">quantisierten Gravitationstheorie</a>. Dort wird ein <a href="Paralleltransport" title="Paralleltransport">Paralleltransport</a> eines Vierbeins längs eines geschlossenen Weges betrachtet. Das ist in direkter Analogie zu den Wilson-Loops in den Eichtheorien, deren Beschreibung mathematisch ähnlich ist (<a href="Faserb%C3%BCndel" title="Faserbündel">Faserbündel</a> mit zugehörigen, den Paralleltransport beschreibenden Zusammenhangsformen ("connections"), die im Fall der Eichtheorien mit den Eichfeldern identisch sind).

</p><p>Seit den 1990er Jahren wird in der Quantengravitation statt der Wilson-Loops zunehmend der Formalismus der <a href="Spin-Netzwerk" title="Spin-Netzwerk">Spin-Netzwerke</a> verwendet.

</p></div><div><div class="zim-footer">

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